由简入难，让学生感受函数动态美 初中数学二次函数图像中平行四边形存在性专题复习课教学设计
□深圳福田区侨香外国语学校 吴海鹰
这篇教学设计的内容为初中数学二次函数中平行四边形存在性专题复习课。作者在教学过程中，始终渗透数形结合思想和分类讨论思想，从简单问题入手，逐步加深题目难度，让学生了解关于函数动点的复杂题型其实是由简单的知识点层层叠加而来，并充分感受这类题型的生成过程，以消除学生的畏难情绪。以下是该教学设计的主要内容。
教学内容与教学策略渗透数形结合思想 分解压轴题生成过程
一、教学内容
初中数学二次函数图像的核心是自变量和因变量的变化，即变量的运动变化。因此，函数图像中的动点问题是中考的热点动态问题，常在压轴题中出现，同时也是学生最害怕的问题之一。动点问题的一般考察方式是求二次函数的解析式后，在函数图像上探寻符合条件的点的坐标，这通常需要分类讨论思想和数形结合的思想。所以，在复习二次函数时，可以分专题探究等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形存在性、菱形存在性以及相似三角形存在性等问题。本节课就二次函数图像中平行四边形的存在性进行复习探究。
二、教学策略
在教学过程中，始终渗透数形结合思想和分类讨论思想。从简单问题入手，通过变式，逐步添加条件、增加知识点，让题目逐步加深难度，让学生在由简入难的过程中感受复杂题型、压轴题的生成过程，体会函数的动态美，同时了解压轴题其实是由一个个小知识点叠加而成，明白复杂图形是由简单图形叠加而成。这样，学生以后再遇到类似的题目就能化繁为简、回归本质，通过突破一个个小问题来解答压轴题。
教学过程
一、重温旧知，唤醒思维
师：平行四边形的判定方法有哪些？
生：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
生：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
生：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
【设计意图】本节课的首要任务就是掌握平行四边形的判定方法。而平行四边形判定方法是八年级下册的内容，在初三的二次函数专题复习课前进行重温，意在唤醒学生判定平行四边形的思维。
二、攻破难点，回归基础
1.画图感知。已知A、B、C三点，请问是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形（见图1）？
学生画图（见图2），总结出此题实际为“已知三定点，求一动点”，并提出分类讨论思想。分类讨论包括两个方向：（1）当AB为平行四边形的边，得出D1和D2。具体作法为沿着BC方向平移AB或沿着BA的方向平移BC，此时AB//CD1且AB=CD1，所以四边形ABCD1是平行四边形，同理可得四边形ABCD2是平行四边形。（2）当AB为平行四边形的对角线，得出D3；作法为沿着CB方向平移AC或沿着CA方向平移BC，此时AC//BD3且AC=BD3，所以四边形ACBD3是平行四边形。两个方向的依据均为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”。
【设计意图】本环节主要通过平移构建平行四边形，让学生感知动态的平行四边形的存在性。
2.自主研习。已知A（-1，0）、B（3，0）、C（2，-3），请问是否存在点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在请求出D点坐标。
学生迅速模仿上一环节的解题思路找到三个点，通过构造全等三角形，计算得到D3（0，3），同理可得D1（-2，-3）、D2（6，-3）。
【设计意图】此环节中，学生体会到从环节一到环节二的变式训练只是添加了直角坐标系，使得感性认识（D点的存在）上升至理性认识（D点的可求性），感受到了复杂题型和复杂图形的生成，以后也不会再恐惧这种题型。
3.合作探究。已知抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（见图3）。求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标，如果不存在，请说明理由。
解：当y=0时，x2-2x-3=0解得x1=-1，x2=3
｀A（-1，0）B（3，0）
将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3
｀C（2，-3）
｀直线AC的函数解析式是y=-x-1；
存在4个点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形。分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+ 7，0），F4（4- 7，0）。
此题第一问解决以后，同学们就会发现这是两个动点的问题，比之前的问题又提高了一点难度，但依然可以利用平移构造平行四边形，进行分类讨论。
首先，学生先要明白两个动点的位置，F点始终在x轴上运动，G点在抛物线上运动；其次，学生探讨的方向要从已知线段AC入手，进行分类讨论，有两个方向，一是以AC作为平行四边形的边构造平行四边形，二是以AC作为平行四边形的对角线构造平行四边形；最后，利用平移把平行四边形画出来，并画出辅助线构造全等计算。
当AC作为平行四边形的边时（见图4），平移时使F点始终在x轴上，当平移的线段与抛物线相交时，交点即为G点，可构造出三个平行四边形。CG1∥x，可知G1的纵坐标与C（2，-3）的纵坐标相同，可以求得G1（0，-3），所以AF=CG=2，因此F1点的坐标是（-3，0）；作x轴的垂线GM和CN，得N（2，0），此时通过三角形的全等可得G2M=CN，AN=F2M，所以C，G2两点的纵坐标关于x轴对称，因此G2点的纵坐标为3，代入抛物线y=x2-2x-3中即可得出G点的坐标为（1+ 7，3），F2M=AN=3，M（1+ 7，0）,所以F2的坐标为（4+ 7，0）；F3求法如F2，可求出F3的坐标为（4- 7，0）。当AC作为平行四边形的对角线时，如图5，AF4//CG4，且AF4=CG4=2，A（-1，0），因此F4的坐标为（1，0）。综上所述，存在4个满足要求的F点，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+ 7，0），F4（4- 7，0）。
【设计意图】此题跟第二环节相比，增加了二次函数，学生迅速求出A点和C点后，就遇见了第二环节很熟悉的平行四边形存在性的问题，可以马上想出分类讨论和平移的方法。学生在体会了压轴题的生成过程后，可以顺利反向解剖题目，回归最基础的知识点，找出解题突破口。
三、总结建模，举一反三
总结前面三个环节，发现每个压轴题都是由简单的知识点层层叠加而成。
课后，布置类似题型的作业以巩固本节课。
教学反思
层层递进 化解学生畏难情绪
笔者以层层递进的方式教学二次函数的专题复习课，主线清晰，目标明确。在教学过程中，添砖加瓦、增设条件、叠加图形，一步步朝着目标铺设道路，每个题目完成一个小目标，化解了学生的畏难情绪，使其既习得解决“二次函数中平行四边形存在性”压轴题的方法，又可以体会压轴题的形成过程和函数的动态美。因此，在“二次函数等腰三角形的存在性”“直角三角形存在性”等专题复习上课上亦可这样设计。
本节课的不足之处是主题较单一，学生展示的机会较少。另外，本课是数学味很强的专题复习课，基础差的学生在计算的时候就需要很长时间，很难进入探索平行四边形存在性这一环节，这些学生就需要教师和其他小组成员的帮助。笔者将针对这些问题进行改进，以达到更好的教学效果。
教学评价
学生主动学习思考成为课堂主体
本节课主线清晰，目标明确，通过添加条件的变式训练增加难点，生成的难题有基础，学生解题有依据。在教学过程中，学生能够充分体会复杂题型的叠加，感受了难题的形成过程。教师通过搭建通往艰难目标的路，让学生消除畏难情绪，顺利解题，提高了学生的参与度。
本节课中函数变量的运动很抽象，教师让学生通过平移画出所要求解的点，化动为静，使得动态抽象问题形象化。同时，从只是画图到添加直角坐标系进行计算的过程，也能够帮助学生的认知从感性上升到理性。
此外，教师还通过小组合作的方式展开教与学。学生通过自主画图、自主研习、合作探究等形式进行平行四边形存在性的探讨，既有独立思考，又有合作生成，充分地享有“学习与思考”的权利，成为了课堂的主体。
中小学正高级教师、特级教师 张玉彬
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